Какая сила тяжести в центре земли? Есть ли там невесомость?

Введение

Как мы знаем, массивные тела притягивают другие тела посредством гравитации. Сила тяжести зависит от массы притягивающего тела и расстояния от него. Чем больше масса — тем сильнее сила тяжести, чем больше расстояния до него — тем слабее. Поэтому яблоки падают на землю (большое массивное тело), а не на Луну (правда с Луной большую роль играет расстояние, а не масса). Луна тоже массивное тело, но она дальше от нас, чем Земля. Многие на этом останавливаются, и думают, что обычно так всегда — чем ближе к центру Земли, тем сила тяжести будет становиться больше (согласно формуле закона всемирного тяготения). Но не забывайте, что этот закон работает только с материальными точками — упрощённое представление физических тел, а к реальным телам применима эта формула только с учётом больших расстояний, и чем меньше расстояние, тем больше результаты вычислений будут расходиться с реальной силой тяжести. Земля не так уж и отдалена от нас, чтобы пренебрегать её размерами. Какая сила тяжести будет действовать в центре земли? Или же вообще не будет никакой тяжести — вдруг там невесомость (точнее, гравитация, близкая к нулевой)? На этот вопрос я попробую наглядно ответить.

И так, чтобы понять что же на самом деле происходит с силой тяжести в центре земли нужно рассмотреть эти процессы поподробнее.

Простая школьная физика

Взглянем на то, как рассчитывают в школе силу тяжести — Землю считают за «материальную точку». И по формуле закона всемирного тяготения считают.

Сила между двумя точками , сила притяжения одной точки . Где F — сила в Ньютонах (можно считать, что это ускорение свободного падения), m - масса тел, r - расстояние, G=6,67428*10^-11 (гравитационная постоянная).

Подставив в эту формулу значение высот (для примера возьмём высоту до луны, до МКС, до поверхности Земли, и 1 км от центра Земли), мы получим следующее:

км	м	F (м/с)	примечания
390771	390771000	0,0026108	до Луны
6754,5	6754500	8,7382816	МКС
6371	6371000	9,8219392	средний радиус Земли
1	1000	398668984	на таком расстоянии скорость свободного падения больше скорости света 299792458 м/с

Как видно из этих данных, странные числа у центра земли — бесконечность, не иначе! Но это нам говорили в школе — при очень близких расстояниях эта формула неправильно работает. По этому, мы получили числа, похожие на гравитацию возле чёрной дыры.

Если построить график по большему числу точек, то получится так:

(на графике чем правее, тем ближе к центру Земли, синяя линия показывает силу тяжести)

Метод интерполяции

Тогда, как нам рассчитать силу тяжести в центре земли?

Простая формула для материальной точки не работает, потому что она не учитывает объёма физического тела, а работает лишь с точками. Однако, мы можем использовать эту формулу, если заменим одну материальную точку, представляющую Землю, «облаком» точек. Упрощённо, это всё равно, что поделить землю на несколько частей (как пиццу, или пирог). В этом случае мы не будем приближаться столь близко к одной точке, а вся масса Земли будет распределена равномерно.

Для лучшей точности нужно разбить Землю не на 8 частей, а на 100 и более, и не в плоскости, а в трёх измерениях (x, y, z). Конечно, в ручную я не собираюсь считать так много уравнений, заставим считать компьютер :)

Реальная сила тяжести

Теперь, когда компьютер посчитал силу тяжести по 1000000 материальным точкам, можно взглянуть на результаты в виде графика.

(на графике чем правее, тем ближе к центру Земли, синяя линия показывает силу тяжести)

Как мы видим, сила тяжести всё возрастает и возрастает, а ближе к центру земли, резко уменьшается. Из этих данных можно сделать вывод, что в центре земли — невесомость!

Другие методы решения

В нашем методе есть два недостатка: во-первых долго рассчитывать, и во-вторых он не очень уж точный. Гораздо лучше воспользоваться другими методами: воспользоваться чем-то вроде интегралов или дифференциалов. Но, для понимания, почему в центре земли — невесомость, вышеизложенного вполне достаточно, и такой метод наглядно показывает, почему так происходит.

В описанном методе погрешности можно уменьшить, взяв большее количество материальных точек. В данном расчёте на погрешности влияли:

• Количество точек и расстояние между ними — чем больше точек, тем меньше погрешность интерполяции. Например, с одной материальной точкой мы бы так и не смогли понять, какая сила тяжести в центре земли.
• Не учтена центробежная сила — вращение Земли вокруг своей оси (а так же солнца, силы взаимодействия луны и так далее, что могло бы уменьшить «силу тяжести» в плоскости экватора, точнее вес, так как он бы складывался из силы тяжести, притягивающей к земле и центробежной силы, «отталкивающей» от земли.
• Строение земли и плотности Земных пород — как минимум нужно учесть плотность разных геосфер. Даже в разных частях земли сила тяжести разная
• Прочие погрешности: точность вычислений, точность исходных данных и так далее (но их влияние настолько мало, что ими можно пренебречь).

Заключение

Не смотря на то, что в центре земли, как мы поняли, невесомость, но давление там очень большое.

Для чего это может пригодиться? Говорят про перемещение сквозь землю типа «лифтов» - здесь можно точнее рассчитать скорость и время для такого перемещения. Можно найти «киноляпы» в фильмах, в которых путешествуют к центру земли. А так же, просто показать, как, иногда, при помощи простой формулы, не работающей со сложными объектами можно применив разделение большого объекта на части и интерполяцию применять её к более сложным объектам.

Попробую сделать небольшое дополнение в скором времени, чтобы вы могли поиграться с графиками прямо на моём сайте.